向量积公式怎么算在向量运算中，向量积（也称为叉积）是一种重要的数学工具，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。向量积不同于点积，它不仅涉及两个向量的大致，还涉及到它们的路线关系。下面我们将详细拓展资料向量积的计算技巧，并通过表格形式进行归纳。
一、向量积的基本概念
向量积是两个三维向量之间的运算，结局一个新的向量，其路线垂直于这两个向量所构成的平面，大致等于这两个向量所形成的平行四边形面积。向量积的符号为 ×，表示为：
$$
\veca} \times \vecb}
$$
其中：
– $\veca}$ 和 $\vecb}$ 是两个三维向量；
– $\veca} \times \vecb}$ 一个向量，其路线由“右手定则”决定。
二、向量积的计算公式
设两个向量分别为：
$$
\veca} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vecb} = (b_1, b_2, b_3)
$$
则它们的向量积为：
$$
\veca} \times \vecb} =
\beginvmatrix}
\mathbfi} & \mathbfj} & \mathbfk} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\endvmatrix}
= (a_2b_3 – a_3b_2)\mathbfi} – (a_1b_3 – a_3b_1)\mathbfj} + (a_1b_2 – a_2b_1)\mathbfk}
$$
也可以写成：
$$
\veca} \times \vecb} = (a_2b_3 – a_3b_2,\ a_3b_1 – a_1b_3,\ a_1b_2 – a_2b_1)
$$
三、向量积的性质
| 性质 | 内容 | ||||||
| 1. 反交换性 | $\veca} \times \vecb} = -(\vecb} \times \veca})$ | ||||||
| 2. 分配律 | $\veca} \times (\vecb} + \vecc}) = \veca} \times \vecb} + \veca} \times \vecc}$ | ||||||
| 3. 零向量 | 若 $\veca} = \vec0}$ 或 $\vecb} = \vec0}$，则 $\veca} \times \vecb} = \vec0}$ | ||||||
| 4. 正交性 | $\veca} \times \vecb}$ 与 $\veca}$、$\vecb}$ 均垂直 | ||||||
| 5. 模长 | $ | \veca} \times \vecb} | = | \veca} | \vecb} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量夹角 |
四、向量积的几何意义
向量积的模长表示由两个向量所形成的平行四边形的面积。若两个向量共线，则向量积为零向量，说明它们无法形成一个平面区域。
五、向量积的计算示例
例： 计算 $\veca} = (1, 2, 3)$ 与 $\vecb} = (4, 5, 6)$ 的向量积。
根据公式：
$$
\veca} \times \vecb} = (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5,\ 3 \cdot 4 – 1 \cdot 6,\ 1 \cdot 5 – 2 \cdot 4)
$$
$$
= (12 – 15,\ 12 – 6,\ 5 – 8) = (-3,\ 6,\ -3)
$$
六、拓展资料表
| 项目 | 内容 | ||||||
| 定义 | 向量积是两个向量的乘法运算，结局为一个向量 | ||||||
| 公式 | $\veca} \times \vecb} = (a_2b_3 – a_3b_2,\ a_3b_1 – a_1b_3,\ a_1b_2 – a_2b_1)$ | ||||||
| 路线 | 垂直于两个向量所在的平面，由右手定则确定 | ||||||
| 模长 | $ | \veca} \times \vecb} | = | \veca} | \vecb} | \sin\theta$ | |
| 应用 | 物理中的力矩、磁场路线、计算机图形学中的法向量计算等 | ||||||
| 示例 | $\veca} = (1,2,3),\ \vecb} = (4,5,6)$，结局为 $(-3,6,-3)$ |
怎么样？经过上面的分析内容，我们可以清晰地了解向量积的定义、公式、性质及实际应用，便于在不同场景中灵活运用。
