平面向量的必背公式在高中数学中，平面向量一个重要的聪明点，它不仅在几何难题中广泛应用，也在物理、工程等领域中扮演着关键角色。掌握平面向量的基本概念和常用公式，是解决相关难题的基础。下面内容是对平面向量的一些必背公式的划重点，帮助学生体系复习并进步解题效率。
一、基本概念
| 概念 | 说明 | ||
| 向量 | 既有大致又有路线的量，通常用有向线段表示 | ||
| 向量的模 | 向量的长度，记作 $ | \veca} | $ |
| 单位向量 | 模为1的向量，记作 $\hata}$ | ||
| 相等向量 | 大致相等且路线相同的向量 | ||
| 相反向量 | 大致相等但路线相反的向量，记作 $-\veca}$ |
二、向量的加减法
| 公式 | 说明 |
| $\veca} + \vecb}$ | 向量加法，遵循平行四边形法则或三角形法则 |
| $\veca} – \vecb}$ | 向量减法，即 $\veca} + (-\vecb})$ |
| $\veca} + \vec0} = \veca}$ | 零向量不改变向量本身 |
| $\veca} + (-\veca}) = \vec0}$ | 向量与其相反向量相加为零向量 |
三、向量的数乘
| 公式 | 说明 |
| $k\veca}$ | 实数 $k$ 与向量 $\veca}$ 的乘积，路线由 $k$ 决定 |
| $k(\veca} + \vecb}) = k\veca} + k\vecb}$ | 数乘分配律 |
| $(k + m)\veca} = k\veca} + m\veca}$ | 数乘分配律（实数） |
| $1\veca} = \veca}$ | 数乘单位元 |
四、向量的坐标表示
设 $\veca} = (x_1, y_1)$，$\vecb} = (x_2, y_2)$，则：
| 公式 | 说明 | ||
| $\veca} + \vecb} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ | 向量加法的坐标形式 | ||
| $\veca} – \vecb} = (x_1 – x_2, y_1 – y_2)$ | 向量减法的坐标形式 | ||
| $k\veca} = (kx_1, ky_1)$ | 向量数乘的坐标形式 | ||
| $ | \veca} | = \sqrtx_1^2 + y_1^2}$ | 向量模的计算公式 |
五、向量的点积（数量积）
| 公式 | 说明 | ||||
| $\veca} \cdot \vecb} = | \veca} | \vecb} | \cos\theta$ | 点积定义（$\theta$ 为夹角） | |
| $\veca} \cdot \vecb} = x_1x_2 + y_1y_2$ | 坐标形式的点积 | ||||
| $\veca} \cdot \veca} = | \veca} | ^2$ | 向量与自身的点积等于模的平方 | ||
| $\veca} \cdot \vecb} = 0$ 当且仅当 $\veca}$ 与 $\vecb}$ 垂直 |
六、向量的叉积（向量积）
| 公式 | 说明 | ||||
| $\veca} \times \vecb} = | \veca} | \vecb} | \sin\theta \cdot \hatn}$ | 叉积定义（$\theta$ 为夹角，$\hatn}$ 为垂直于两向量的单位向量） | |
| 在二维中，叉积可视为一个标量：$\veca} \times \vecb} = x_1y_2 – x_2y_1$ | 二维叉积的简化表达 | ||||
| 若 $\veca} \times \vecb} = 0$，则 $\veca}$ 与 $\vecb}$ 共线 |
七、向量的投影
| 公式 | 说明 | ||||||
| $\textproj}_\vecb}} \veca} = \frac\veca} \cdot \vecb}} | \vecb} | ^2} \vecb}$ | 向量 $\veca}$ 在 $\vecb}$ 路线上的投影向量 | ||||
| $ | \textproj}_\vecb}} \veca} | = \frac | \veca} \cdot \vecb} | } | \vecb} | }$ | 投影的长度 |
八、向量的夹角公式
| 公式 | 说明 | ||||
| $\cos\theta = \frac\veca} \cdot \vecb}} | \veca} | \vecb} | }$ | 两个向量夹角的余弦值 | |
| $\tan\theta = \frac | \veca} \times \vecb} | }\veca} \cdot \vecb}}$ | 适用于非垂直情况的正切值 |
拓展资料
平面向量的公式虽多，但核心内容可以归纳为：加减运算、数乘、坐标表示、点积、叉积、投影与夹角。掌握这些公式不仅能帮助领会向量的本质，还能在实际难题中灵活运用。建议在进修经过中结合图形和实例进行领会，从而提升应用能力。
